我学习数学的一些经验分享（理工科适用）
首先确保自己精神充沛。如果在痛苦或疲倦的状态下学习，效率低不说，很可能建立起一学数学就痛苦的反射，失去对学数学中的乐趣的感知。
背景
本身我是计算机专业的，很多地方需要用到数学（比如密码学、图形学、机器人、电路等等），所以数学不得不学。上学阶段本身已经学了一些了，但问题在于中国大学教育的学习方式更鼓励你通过考试，并没有对概念形成深刻的理解，也不强调公理化。这是很致命的。
目的
所以，我学习的目的很直白，就是获得理解直觉，能够在不同的地方找到关联，解决实际问题。甚至可以更直白一点说，就是关键的时刻不被 AI 忽悠。从而可以去做更有挑战的事情。
理念
所以我站欧拉、庞加莱那边，更强调直观能力的培养。 我是反对大量精力学习证明的（我不反对掌握一些证明中的精髓，甚至鼓励记住证明的结构）。因为证明往往冗长，且脱离直觉，还浪费时间。比如证明任何方阵都能分解成对称加上反对称（A=S+K）很容易，但写出这个证明并不能让我直观地看到一个具体矩阵就能想象出其 S 和 K，我需要的恰恰是后者不是前者。而学习后者常常更简单：亲自算一遍即可。
我觉得书上的“定义—定理/性质—证明—例子” 这种直接硬塞且超人脑符合的组织方式完全是反人类、违背人的认知规律的的。人的认知顺序基本是相反的，先从现象、困境、例子出发，发现一些性质，再尝试严格地用定义和证明去描述，并且推广到更丰富的场景（衔接到下一块学习）。
所以核心就是符合人脑认知规律。
方法论
所以，绝大多数教材都会被我直接跳过。现在是 2026 年了，没必要死磕你那影印版无法复制公式的盗版 PDF 了！你可以用 AI 定制你自己的学习流程。
我是这么做的：
- 让 AI 制定一个好的学习大纲（把我的理念发给他，分成 Part - Chapter - Section 的格式。每个 Section 不得超过一个难点，Chunk by Chunk）。
- 然后，一种策略是边对话边学。这种在前期进展非常迅速，因为只要你别钻牛角尖，能容忍前期的模糊度，每个领域的基础知识都不太难。
- 但这样效率到后期其实不高，我实际采用直接输出的格式，可以理解成让它输出符合认知顺序的教科书。直接去读这个 AI 教科书。
- 但这个时候 AI 生成的教科书依然可能非常逆天，乱跳跃，硬塞等等。不用管。你重点攻克大 Boss，比如“特征值分解”显然是一个大 Boss。
- 你会发现要领悟“特征值分解”，最好得领悟小 Boss “谱分解”（但暂时没必要搞懂DFT这种特殊谱分解）。
- 所以你现在可以去攻打小 Boss。攻打小 Boss 的过程中，你会发现很多基础不牢靠。这个时候你前期容忍的哪些模糊度现在终于可以正面对待了。攻打 Boss 的过程中你被迫重新审视你的基础知识，产生了更强和更精准的逻辑或直觉。
- 注意我们强调情景，所以你肯定学会了 SVD 的常见使用情景，然后你可以更进一步去结合你的工程实际去找别的情景，加深理解。
- 然后继续攻打别的章节的 Boss。
- 最后，这门课的图景在你脑子里应该会比较清晰了。
需要提醒的是笔记，别傻乎乎地打笔记了。也不要把 AI 生成的东西复制一遍当自己的笔记，假装自己会了。我发现比较有用的是做成 Anki 卡片。你可以按你的需要用下面的方式做笔记。
<!--card-->
正面
<!-->
反面
<!--/card-->
举个例子：
<!--card-->
一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $A$ ，如何理解其输入和输出空间
<!-->
把 $A$ 视做列向量构成的行向量
$$
A=(a_1\ a_2\ \cdots\ a_n),\qquad a_j\in\mathbb{R}^m
$$
则
$$
Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n
$$
$T_A(x)=Ax$ 是 $A$ 的 $n$ 个列向量的线性组合，组合系数是输入的 $n$ 个分量 $x_1,\dots,x_n$.
所以输入自然是 $n$ 维的；
输出的维度依然取决于每个列向量的维度 $m$.
<!--/card-->并不是所有东西都值得做笔记。非常基础的知识，或者非常难的知识，都不应该进笔记。
能进笔记的东西，一定是你第一次看到的时候感觉这个想法点拨到你了，而且你预感到你会忘掉。或者这个东西你其实懂，但每次去用都要卡壳一下。这种才值得进卡片笔记。
如果卡片的背面超过五个逻辑环节，几乎一定说明你搞错了。
比如我的 SVD 的笔记可能是：
正面：请讲述奇异值分解（SVD）的动机和原理。
背面：
（1）谱分解定理要求对称方阵，其本质是在同一个空间里找到一组正交基，使得线性变换在这组基下只是沿各轴独立伸缩。
那对于长方矩阵 $\mathbf{M} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，虽然 $\mathbf{M}$ 本身不对称，但把 $\mathbf{M}^{\top}$ 和 $\mathbf{M}$ 乘在一起构造出的 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}$ 永远是实对称的！
（2 关键步骤）对 $\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}$ 应用谱分解定理，取其标准正交特征向量组 $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$（满足 $\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}\mathbf{v}_i = \sigma_i^2\mathbf{v}_i$）
$$ (\mathbf{M}\mathbf{v}_i)^{\top}(\mathbf{M}\mathbf{v}_j) = \mathbf{v}_i^{\top}(\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}\mathbf{v}_j) = \mathbf{v}_i^{\top}(\sigma_j^2 \mathbf{v}_j) = \sigma_j^2 (\mathbf{v}_i^{\top}\mathbf{v}_j) = \sigma_j^2 \delta_{ij} $$
（3）分析这个结果：
- 当 $i \neq j$ 时，点积为 $0$，因此 $\mathbf{M}\mathbf{v}_i$ 与 $\mathbf{M}\mathbf{v}_j$ 依然严格正交；
- 当 $i = j$ 时，$\lVert\mathbf{M}\mathbf{v}_i\rVert = \sigma_i$，说明 $\mathbf{v}_i$ 的长度被缩放了 $\sigma_i$ 倍。把映射后的向量除以它的长度 $\sigma_i$，就得到了输出空间中的单位正交向量 $\mathbf{u}_i$，即：
$$ \mathbf{M}\mathbf{v}_i = \sigma_i \mathbf{u}_i \iff \mathbf{M}\mathbf{V} = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma} $$
在两边右乘 $\mathbf{V}^{\top}$，就得到了奇异值分解。
$$ \mathbf{M}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^\top=\sum_{i=1}^{r}\sigma_i\,\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^\top. $$
你看，即使是 SVD，三步也够了。你在脑子里完全可以推一遍了，不要太追求严谨。
那有人要问：你这个笔记有问题啊，“$\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}$ 永远是实对称的”、“满足 $\mathbf{M}^{\top}\mathbf{M}\mathbf{v}_i = \sigma_i^2\mathbf{v}_i$” 都没说明？
问这个，这说明你的笔记负荷量太大了，这种基础知识点应该属于小怪，你应当直接攻克的，必要时记到另一张笔记上。
之后你可以让 AI 帮你写个脚本，把这些卡片导入 Anki 方便回顾复习。
结语
采用这套方法，你应当发现所有概念都服务于解决实际问题，并且都能分解到能直观理解的地步。大部分情况不需要大量的刷题，也不需要写很多代码或者背证明啥的。毕竟作为码农，最大的痛点就是没那么多时间学习。
如果有任何建议，也欢迎交流。
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